EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES ENTRE SI (EJERCICIOS)



EJEJRCICIOS RESUELTOS


                                                MUTUAMENTE EXCLUYENTES




1.-Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:

Solución:
La probabilidad pedida es P(A∩C). Como son eventos mutuamente excluyentes, ambos no pueden suceder a la vez,
P(A∩C) = 0.
2.-Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es  la probabilidad de que este sea de matemática o de física?
Solución:
Sean los eventos
A ≡Tomar el libro de Matemáticas.
B ≡Tomar el libro de Física.
La probabilidad pedida es:
P(AB) = P(A) + P(B) -P(A∩B)
Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0.
Por lo tanto, la probabilidad pedida nos queda:
P(A∩B) = (1/5)+(1/5)-0= 2/5
3.-En la tabla adjunta, X representa el númerode hijos por familia en un grupo de 20 familias seleccionadas al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos?
Solución:
El total de familias con uno o dos hijos son 6 + 3 = 9 de un total de 20 familias. La probabilidad pedida es
P=9/20
p =0,45
4.-En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde?
Solución:
Hay 4 bolitas naranjas y 3 verdes, esto es, 7 casos favorables a lo pedido. Aplicando la definición de Laplace: casos favorables 7
P= casos favorables/ casos totales =7/9
5.-En una bolsa se tienen 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules. Se saca una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul?
Solución:
P(roja o azul) =casos favorables/ casos totales
P = (cantidad de bolas rojas + cantidad de bolas azules)/ cantidad total de bolas en la bolsa
P =(3 + 4 )/( 3 + 2 + 4 )
P =7/9
6.-En una caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 10 al 30 (es decir 10, 11, 12,..., 27, 28, 29, 30). La probabilidad de que al sacar una tarjeta al azar, la suma de los dígitos sea 3 ó 4 es:
Solución:
Hay 21 tarjetas numeradas (se incluye la tarjeta 10). Las tarjetas cuya suma de dígitos da 3 ó 4 son: 12, 13, 21, 22 y 30. Cinco casos favorables en total.
La probabilidad pedida=casos favorables /casos totales
P= 5/21
7.-Una caja contiene 8 bolitas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. La probabilidad de que la bolita extraída sea roja o verde es
Solución:
Sea R≡extraer una bolita Roja.
V ≡extraer una bolita Verde.
Juntas suman 15 bolitas de un total de 20,lo cuál representa el 75% del total. Por lo tanto:
P(RV) = 0.75. Lo cual representa el 75%
8.-Si escojo una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante?
Solución:
Sean A ≡extraer una carta corazón.
         B ≡extraer un diamante.
Hay 13 cartas de cada pinta, luego:
P(A) = 13/52=1/4 = 0,25
P(B) = 13/52=1/4 = 0,25
La probabilidad de escoger un corazón o un diamante corresponderá a:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P= 0,25 + 0,25 – P(A∩B)
P(A∩B) = 0,5
Mientras que A∩B ≡{extraer una carta que sea corazón y diamante} = entonces P(A∩B) = 0 Luego, queda únicamente en 0,5.
9.-En una bolsa hay 5 bolas azules, 7 blancas, 3 rojas. Se mete la mano una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul o una blanca?
Solución:
Sea A= Obtener una bola azul.
       B=Obtener una bola blanca
El espacio muestral es de 15 bolas en total. P(A∩B) =0 porque no hay bolas azules y blancas a la vez
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)        P(AB) = (5/15)+(7/15)
P(AB)=12/15                                       P(AB)=4/5
10.-Se tiene una tómbola con bolitas numeradas del 10 al 25. ¿Cuál esla probabilidad de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números obtenidos sea par?
Solución:
Se tienen 16 números en total, de los cuáles 8 son pares y 8 impares.
Los modos de obtener números cuya suma sea par, solo puede ocurrir de dos formas:
i)                   A ≡Extraer dos bolitas pares.
ii)                B ≡Extraer dos bolitas impares.
Aparte de ser cada uno de los eventos sin reposición, son también mutuamente excluyentes entre sí. No puede ocurrir simultáneamente, que las bolitas sean pares e impares, así que
P(A∩B) = 0
Por lo tanto, la probabilidad pedida, que puede ocurrir de dos formas por separado AB, es:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) donde P(A∩B) = 0
P(AB)= (8/16)(7/15)+ (8/16)(7/15)
P(AB)=2 ((1/2)(7/15))
P(AB)= 7/15
11.-¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 5 ó 7 al lanzar simultáneamente dos dados?
Solución:
La base del espacio muestral son los resultados otorgados por el lanzamiento de un dado.
E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} #E’=6
Para n dados, el número de casos es #E = (#E’ ^n).
Y para n = 2 dados: #E = (#E’^2)= 6^2=36
El espacio muestral está formado por 36 elementos, a los que hemos asociado un par ordenado de números, que indican los resultados del primer y segundo dado.
Sea S la variable aleatoria que indique la suma de los puntos en una sola tirada.
La probabilidad pedida viene dada por:
 P(S = 5) + P(S = 7)
Veamos el número de casos favorables para obtener cada suma y su respectiva probabilidad.
S =5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} P(S = 5) =4/36
S = 7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(S = 7) =6/36
Finalmente
46105
P(S = 5) + P(S = 7) =4/36 +6/36 =10/36 =5/18
12.-Se lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya suma sea 5 ó 12 es
Solución:
Se trata de la probabilidad de una unión de eventos mutuamente excluyentes, pues no hay dos
números cuya suma sea 5 y 12 a la vez. Por lo tanto, se utiliza la expresión:
P(AB) = P(A) + P(B)
Donde: A ≡obtener dos números cuya suma sea 5;
             B ≡obtener dos números cuya suma sea 12;
Los casos favorables a obtener suma 5 son: A = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}. Así,
P(A) =3/36
.
Mientras que el evento B solo puede suceder con {(6,6)}. Así,
P(B) =1/36
.
Finalmente, reemplazamos los valores de
P(A) y P(B)  obteniendo:
P(A B) =4/36 + 1/36 =5/36
13.-Al lanzar un dado rojo y uno azul, ¿cuál es la
probabilidad de que el puntaje sea menor que 4 ó mayor que 11?
Solución:
Sean A =Obtener un número menor que 4.
         B=Obtener un número mayor que 11.
La tabla de doble entrada de la derecha nos muestra que hay 3 casos favorables a A y 1 a B. Como los eventos son mutuamente excluyentes:
P(A B)= P(A)+ P(B)
P(A B)= (3/36)+(1/36)
P(A B)=4/36
P(A B)=1/9
14.-Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de obtener 10, como mínimo, en la suma de los puntos de una sola tirada?
Solución:
Consideremos los resultados posibles tras lanzar un par de dados. Asociando un par ordenado de valores que represente los resultados posibles del primero y segundo dado respectivamente. El espacio muestral o todos los casos posibles tras lanzar dos dados viene dado por:
En este caso el espacio muestral está formado por 36 elementos.
Sea S la variable aleatoria que indique la suma de los
puntos en una sola tirada.
P(S ≥10) = P(S = 10) + P(S = 11) + P(S = 12)
Veamos el número de casos favorables para cada suma.
S=10 = {(4,6), (5,5), (6,4) } P(S = 10) =3/36
S=11 = {(5,6), (6,5)} P(S = 11) =2/36
S=12 = {(6,6)} P(S = 12) =1/36
Finalmente,
P(S≥ 12) =(3+2)/36=6/6 = 1
15.-En una carrera de 100 metros planos, compiten cuatro atletas: A, B, C y D. Si A tiene el doble de probabilidad de ganar que B; C tiene la mitad que B de ganar y la probabilidad de D es igual a la de A. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de ganar C es 2/11
II) La probabilidad de que A no gane es de 7/11
III) La probabilidad de que A o C ganen es de 5/11
Solución:
La menor probabilidad de ganar la tiene C.
Sea P(C) = x P(B) = 2x P(A) = 4x P(D) = 4x.
Los eventos A, B, C y D son mutuamente excluyentes.
∑Pi=1
x+2x+4x+4x=1
11x = 1
x=1/1
P(C)=1/11;P(B)=3/11;P(A)=4/11;P(D)=4/11
I)Es falsa.
II)La probabilidad de que A no gane es:
    1-P(A)=1-(4/11) =7/11
 Es verdadera.
III) La probabilidad de que A o C gane es:
      P(AC) = P(A) + P(B) – P(A∩C)
Como los eventos son mutuamente excluyentes,
       P(A∩C) = 0.
Por lo tanto, la probabilidad de la unión de eventos queda:
       P(AC) = P(A) + P(C) =(4/11)+(1/11)=5/11
Es verdadera.
 Sólo II) y III) son verdaderas.
16.-Según cierta información de prensa del año 2002, el tenista nacional Fernando González tenía un 45% de probabilidad de ganar al “Chino” Ríos y del 60% de ganar al “Nico” Massú. Si en un torneo de aquél año hubiese enfrentado a ambos, ¿Cuál es la probabilidad de que hubiese ganado sólo a uno de ellos?
Solución:
Para satisfacer lo pedido, hay dos casos a considerar: Que venza a Ríos y pierda con Massú; Con probabilidad
45%•40% =(45/100) •(40/100) =(45/100)•(4/10) =180/(100•10) = = 18%
Donde hemos utilizado sucesivas simplificaciones. O bien:
Que venza a Massú y pierda con Ríos. Con probabilidad
60%•55% = (60/100)•(55/100)=(6/10)•(55/100)=330/(10•100)= 33/100=33%
Donde hemos utilizado sucesivas simplificaciones. La probabilidad de ganar a uno solo de ellos se presenta así como dos opciones posibles y la
probabilidad final viene dadapor la suma de estas:
             18% + 33% = 51%
                                                 
                                            
                                                    MUTUAMENTE NO EXCLUYENTES
17.-Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5?
Solución:
Como son 19 números, la cantidad de elementos del espacio muestral es
 #E = 19.
Sean los eventos:
A ≡Obtener un número múltiplos de 3
B ≡Obtener un número múltiplos de 5.
Si podemos identificar la cantidad de elementos del espacio muestral ABlo resolvemos
directamente como sigue:
AB = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18}
# AB = 8
P(AB)= #(A B)/ #E =8/19
18.-Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?
Solución:
Los casos totales de ser escogidos son 50. Y los números menores que 20 que son múltiplos de 3 son
[19:3]= 6 casos favorables.
Donde los corchetes
[]: Indican la parte entera de la división. Luego
 la probabilidad pedida es
P=6/50=3/25
19.-Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?
Solución:
Sea los siguientes eventos tras el lanzamiento de un dado.
Sean A ≡obtener un número par
A = {2, 4, 6} B ≡obtener un número menor que 5
B = {1, 2, 3, 4} AB = {1, 2, 3, 4, 6}
# AB = 5
P (AB) =#(A B)/#E=5/6
20.-Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:
Solución:
Al extraer una bola, tenemos 36 casos posibles o totales. Y Los casos favorables a extraer un número par, o menor que 10 son:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14,16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}
La probabilidad pedida es
P= casos favorables/ casos posibles =23/36
21.-De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una alazar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte 8 o trébol?
Solución:
La probabilidad de que uno de los dos eventos A o B ocurran es: P(AC) =
P(A) + P(B) – P(A∩C)
A ≡Obtener un 8 P(A) = 4/52
Pues existen 4 ochos en el naipe.       B ≡Obtener un trébol P(B) = 13/52
Pues existen 13 tréboles en el naipe.   A∩C ≡Obtener un 8 trébol P(A∩C) = 1/52
Pues existe un solo ocho trébol. Reemplazando estos valores obtenemos:
P(AC) = (4+13-1)/52=16/52=8/26
22.-Se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros ¿positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5?
Solución:
Es claro que al escoger un número al azar, tenemos 30 números posibles o totales.
Como nos piden uno u otro evento, usamos el teorema de la unión de eventos:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
 A ≡escoger un número primo entre los 30 primeros enteros positivos
     = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} Luego, # A = 10
              P(A) = 10 /30.
B ≡escoger un múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30} Así, #B=6
           P(B) = 6 /30.
A∩B ≡escoger un número primo y múltiplo de 5 a la vez = {5}
 Luego, # (A ∩B) = 1 P(A∩
B) = 1 /30.
Reemplazando las probabilidades de la derecha en el teorema:
P(A B) = (10/30)+(6/30)-(1/30)=(10+6-1)/30=15/30=1/2
23.-Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 2 ó un 3?
Solución:
Sea A ≡Obtener un 2.
B ≡Obtener un 3.
La probabilidad pedida es:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)  ---------- (I)
Ambos son eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto
P(A∩B) = 0.
 P(A) = P(B) = 1/6
Con lo que la expresión (I) se transforma en:
P(AB) = 1/6)+(1/6)-0= 2/6= 1/3
24.-Una ruleta tiene 36 sectores circulares iguales,numerados del 1 al 36. Los 12 primeros son rojos, los 12 siguientes azulesy los 12 restantes negros. En este juego gana el número que sale indicado después de girar la ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar o un número de color rojo?
Solución:
Los 36 números son todos los elementos del espacio muestral o números posibles de ser extraídos. Entonces,
#E = 36.
Sean los eventos: A ≡sale un número impar; entonces:
P(A) =18/36
B ≡sale un número pintado de color rojo, entonces:
P(B) =12/36
A∩ B= números impares y de color rojo = {1, 3, 5,7, 9,11}
        #(A∩ B)= 6 P(A∩ B) =6/36
Se solicita:
P(A B) = P(A) + P(B)- P(A ∩B) = (18/36) +(12/36) –(6/36) =24/36.

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