CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
  • La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
  • La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores (X_1,X_2,...,X_n) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:
\bar{X}_n = T(X_1,X_2,...,X_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
de relación típicadesviación

Desviación estándar para datos agrupados

desviación típicadesviación
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
desviación típicadesviación típica

Desviación estándar para datos agrupados

desviación típicadesviación típica




EJERCICIOS RESUELTOS: (LA PAGINA BLOOGGER DONDE SE CREO ESTE BLOG, NO DEJA CREAR MAS DE 20 PAGINAS, LOS EJERCICIOS ESTARAN AQUI ABAJO)



Ejercicios resueltos de la desviación típica

1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

Media

media

Desviación típica

desviación típica


12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

media

Desviación típica

desviación típica

2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Calcular la desviación típica.
xi fi Ni xi · fi i · fi
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
50 610 7526

varianza

3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
Calcular la desviación típica.

xi fi xi · fi xi2 · fi
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
120 843 6633
media y varianza

4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2

xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 468.75
[15, 20) 17.5 5 87.5 1537.3
[20, 25) 22.5 7 157.5 3543.8
[25, 30) 27.5 4 110 3025
[30, 35) 32.5 2 65 2112.5
21 457.5 10681.25

Media

media

Desviación típica

varianza

5.Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
media
desvición típica

6.Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 2.00)
Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2
Calcular la desviación típica

xi fi Fi xi · fi xi2 · fi
[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976
[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.453
[1.80, 1.85) 1.825 4 8 7.3 13.324
[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.128
[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53
[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802
23 42.925 80.213

Media

media

Desviación típica

desviación

7.Dada la distribución estadística:
[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
fi 3 5 7 8 2 6
Calcular la desviación típica.

xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Desviación típica

Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.

 

Calcular la desviación estándar de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
media
Desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
media
desvición típica

 
EJERCICIO 1
Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:

42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35
30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32
54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21
42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27
53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58
56 59 60 40 24

Elabore una tabla de frecuencias.
Calcule la media y la desviación típica.

SOLUCIÓN:

Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:

Edad               n                    
20-29              14
30-39              17
40-49                            22
50-59                            18
60-69                                9

Total               80       


Cálculo de la media:

Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es  ochenta, el resultado es una media de  43,29. También:

Edad
xi
ni
xini

20-29
25
14
350
30-39
35
17
595
40-49
45
22
990
50-59
55
18
990
60-69
65
9
585

Total


80
3510

, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.
Cálculo de la desviación típica:

Edad
xi
ni
  
20-29
25
14
-18,875
356,2656
4987,71875
30-39
35
17
-8,875
78,7656
1339,01563
40-49
45
22
1,125
1,2656
27,84375
50-59
55
18
11,125
123,7656
2227,78125
60-69
65
9
21,125
446,2656
4016,39063

Total


80


12598,75


Sx =
La desviación típica es de 12,5 años


EJERCICIO 2

Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:

Edad        n_                                            Edad            n__                       

20-29      14                                             20-29          43
30-39            17                                             30-39           --
40-49      22                                              40-49           --
50-59            18                                             50-59           --
60-69        9                                             60-69          37
Total        80                                             Total          80     


SOLUCIÓN:
La media y la desviación típica de la primera distribución, ha sido calculada en el primer ejercicio.
Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la segunda distribución.
Cálculo de la media:

Edad
xi
ni
xini

20-29
25
43
1075
30-39
35
-

40-49
45
-

50-59
55
-

60-69
65
37

2405

Total


80
3480



Cálculo de la desviación típica:

Edad
xi
ni
  
20-29
25
43
-18,875
356,2656
15319,4219
30-39
35
-
-8,875
78,7656
-
40-49
45
-
1,125
1,2656
-
50-59
55
-
11,125
123,7656
-
60-69
65
37

21,125
446.2656
16511,8281

Total


80


31831,25


 

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada