Probabilidad y Estadistica

Distribución de probabilidad con variables aleatorias continúas

Dada una variable aleatoria $\scriptstyle X$ , su función de distribución, $\scriptstyle F_X(x)$ , es

$F_X(x) = \mathrm{Prob}( X \le x ) = \mu_P\{\omega\in \Omega|X(\omega)\le x\}$

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice $\scriptstyle X$ y se escribe, simplemente, $\scriptstyle F(x)$ . Donde en la fórmula anterior:

$\mathrm{Prob}\,$ , es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.

$\mu_P\,$ es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

$\Omega\,$ es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.

$X:\Omega\to \R$ es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definda sobre el espacio muestral a los números reales.

Propiedades

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

Es una función continua por la derecha.
Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$

$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$

Para dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ tal que $(a < b)$ , los sucesos $( X \le a )$ y $( a < X \le b )$ son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso $( X \le b )$ , por lo que tenemos entonces que:

$P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )$

$P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )$

y finalmente

$P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)$

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución $F(x)$ para todos los valores de la variable aleatoria $x$ conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.
Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Gráfica de distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

$F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)$

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$ .

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Distribuciones de variable discreta

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